クレイグの補間定理

クレイグの補間定理（英: Craig's interpolation theorem）は論理学における定理であり、論理体系によってその定義が異なる。William Craig が1957年、一階述語論理について証明したのが最初である。クレイグの補題とも。

命題論理の場合

命題論理版は以下のように定義される。

${\displaystyle X\rightarrow Y}$

が恒真式であるとき、論理式 ${\displaystyle Z}$ の全ての命題変数が ${\displaystyle X}$ と ${\displaystyle Y}$ の両方に出現する場合で、かつ

${\displaystyle X\rightarrow Z}$

と

${\displaystyle Z\rightarrow Y}$

も恒真式なら、${\displaystyle Z}$ を

${\displaystyle X\rightarrow Y}$

の「補間（interpolant）」と呼ぶ。

単純な例として、次の式に対して ${\displaystyle P}$ は補間である。

${\displaystyle P\land R\rightarrow P\lor Q}$

命題論理でのクレイグの補間定理は、含意

${\displaystyle X\rightarrow Y}$

が恒真式なら、常に補間が存在する、というものである。

証明

クレイグの補間定理は以下のような方法で証明できる。

• モデル理論的には、コンパクト性、否定、論理積が存在するとき、Robinson's joint consistency theorem とクレイグの補間定理は等価である。
• 証明理論的には、シークエント計算によって証明できる。カット除去定理が成り立ち、結果として部分論理式特性が保持されるなら、クレイグの補間定理は証明の構成に関する帰納法で証明される。
• 代数学的には、論理を表す代数の多様性についての融合の定理を使う。
• クレイグの補間定理のある他の論理体系に変換する。

応用

クレイグの補間定理は、一貫性の証明、モデル検査、モジュール仕様の証明、モジュールオントロジーの証明などに使われる。

参考文献

• Hinman, P. (2005年). Fundamentals of Mathematical Logic. A K Peters. ISBN 1-568-81262-0 
• Dov M. Gabbay and Larisa Maksimova (2006年). Interpolation and Definability: Modal and Intuitionistic Logics (Oxford Logic Guides). Oxford science publications, Clarendon Press. ISBN 978-0198511748 
• Eva Hoogland, Definability and Interpolation. Model-theoretic investigations. PdD thesis, Amsterdam 2001.
• W. Craig, Three uses of the Herbrand-Gentzen theorem in relating model theory and proof theory, The Journal of Symbolic Logic 22 (1957), no. 3, 269-285.

外部リンク

• 永島孝「補間定理」『一橋論叢』第100巻第3号、日本評論社、1988年9月、353-366頁、doi:10.15057/12638、ISSN 00182818、NAID 110000315382。