四十角形

四十角形（よんじゅうかくけい、よんじゅうかっけい、tetracontagon）は、多角形の一つで、40本の辺と40個の頂点を持つ図形である。内角の和は6840°、対角線の本数は740本である。

正四十角形

正四十角形においては、中心角と外角は9°で、内角は171°となる。一辺の長さが a の正四十角形の面積 S は

${\displaystyle S={\frac {40}{4}}a^{2}\cot {\frac {\pi }{40}}\simeq 127.06205a^{2}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}S=10a^{2}\cot {\frac {\pi }{40}}=&10\left(1 {\sqrt {5}} {\sqrt {5 2{\sqrt {5}}}} {\sqrt {\left(1 {\sqrt {5}} {\sqrt {5 2{\sqrt {5}}}}\right)^{2} 1}}\right)a^{2}\\=&10\left(1 {\sqrt {5}} {\sqrt {5 2{\sqrt {5}}}} {\sqrt {\left(1 {\sqrt {5}}\right)^{2} {\binom {2}{1}}\left(1 {\sqrt {5}}\right){\sqrt {5 2{\sqrt {5}}}} \left({\sqrt {5 2{\sqrt {5}}}}\right)^{2} 1}}\right)a^{2}\\=&10\left(1 {\sqrt {5}} {\sqrt {5 2{\sqrt {5}}}} {\sqrt {\left(6 {\binom {2}{1}}{\sqrt {5}}\right)^{} {\binom {2}{1}}\left(1 {\sqrt {5}}\right){\sqrt {5 2{\sqrt {5}}}} \left(5 2{\sqrt {5}}\right)^{} 1}}\right)a^{2}\\=&10\left(1 {\sqrt {5}} {\sqrt {5 2{\sqrt {5}}}} {\sqrt {\left(11 4{\sqrt {5}} {\binom {2}{1}}\left(1 {\sqrt {5}}\right){\sqrt {5 2{\sqrt {5}}}}\right) 1}}\right)a^{2}\\=&10\left(1 {\sqrt {5}} {\sqrt {5 2{\sqrt {5}}}} {\sqrt {12 4{\sqrt {5}} {\binom {2}{1}}\left(1 {\sqrt {5}}\right){\sqrt {5 2{\sqrt {5}}}}}}\right)a^{2}\end{aligned}}}$

${\displaystyle \cos(2\pi /40)}$を有理数と平方根で表すことが可能である。

${\displaystyle \cos {\frac {2\pi }{40}}=\cos {\frac {\pi }{20}}=\cos 9^{\circ }={\frac {1}{2}}{\sqrt {2 {\sqrt {\frac {5 {\sqrt {5}}}{2}}}}}}$

正四十角形の作図

正四十角形は定規とコンパスによる作図が可能な図形である。

脚注

関連項目

• 五角形
• 十角形
• 二十角形

外部リンク

• Weisstein, Eric W. "Tetracontagon". mathworld.wolfram.com (英語).